Explicación de la conjetura de Poincaré según Breno


Ahora bien, el flujo de Ricci es el método que
encontraron para tratar de ir "suavizando" espacios de
manera natural. Digamos que es un proceso que va
suavizando más donde más se necesita: si en una región
la variedad tiene mucha curvatura entonces el proceso
que se sigue por el flujo de Ricci va a suavizar más
esa región que otras con menos curvatura. El problema
grande que había con eso es que el proceso se volvía
"singular" fácilmente y rápido, esto quiere decir que
el valor de la curvatura (que es lo que va
evolucionando o "fluyendo" en el flujo de Ricci) se
vuelve infinito en tiempo finito. Hamilton (quien fue
el que introdujo el flujo de Ricci para estudiar esto
y que está justo en Columbia) resolvió éste problema
para el caso de curvatura positiva (digamos que la
variedad original es de tipo "redondo") donde encontró
que si reescalamos el flujo de Ricci para mantener
fijo el volumen de la variedad entonces ya no hay
singularidades y en tiempo finito acabamos básicamente
en la 3-esfera (o bien en la 3-esfera después de
identificar algunas simetrías). Básicamente lo que
encontró Hamilton es que las cosas "redondas" se
pueden deformar a la 3-esfera aunque a veces se
vuelven muy grandes y por eso el flujo de Ricci no lo
detecta si no reescalamos. El problema después era
cuando no podíamos asegurar que la variedad tenía
curvatura de Ricci positiva (digamos prácticamente
todas las variedades, jaja).

Aquí es donde entró Perelman.
Según Anderson, Perelman
resuelve tres problemas que estan involucrados aqui:
I) Asegurar que la variedad no se colapsa al seguir el
flujo de Ricci (si siguiendo el flujo de Ricci
acabamos en un punto entonces no hay nada que decir).
II) Determinar qué tipo de singularidades existen
aparte de las descritas por Hamilton.
III) Ver cuál es la relación con la topología de la
3-variedad original de estas singularidades que se
forman.

Una vez resueltos estos tres problemas, la
geometrización debe quedar hecha pues entonces podemos
asegurar que siguiendo el flujo de Ricci la variedad
se va haciendo cada vez mas simple salvo cuando hay
algunas singularidades que como están descritas
sabemos que dicen de la topología de la 3-variedad.

I)Para el primer problema, Perelman definió una especie
de "volumen" o "energía" que el flujo de Ricci
minimiza, esta "energía" es una variante de la acción
de Einstein-Hilbert de relatividad general (que a su
vez es una generalización de la acción clásica de
mecánica que a su vez es un tipo de energía mecánica
global). Como el flujo de Ricci minimiza esta
"energía" que no puede ser cero si al principio no lo
era, entonces no podemos tener el caso de que la
variedad desaparezca al seguir el flujo de Ricci.

II) Para el segundo problema, Perelman describió todas las
singularidades que se pueden encontrar. De varios
resultados de Hamilton uno obtiene que si la variedad
es finita en todo el tiempo entonces las
singularidades son que se crean 3-esferas en la
variedad (como si empezaran a salirle burbujas a la
variedad) o bien se crean (también "burbujeando")
variedades que son del tipo del producto S^2 x S^1.
Perelman describió qué pasa cuando la variedad se
vuelve infinita. En este caso él determinó que en la
variedad se crean lo que llamó "cuellos" (necks) que
son productos S^2 x R (la 2-esfera cruz la recta
real). La geometría de estos cuellos puede ser sólo
del tipo de las otras 5 geometrías de la conjetura de
geometrización. Así que básicamente cuando la
curvatura se vuelve infinita en el flujo de Ricci es
porque a la variedad le salen burbujas o cuellos. La
geometría de las burbujas y los cuellos se vuelve con
el flujo de Ricci en una de las 8 geometrías de
Thurston.

III)Para resolver el tercer problema, Perelman vió que
justo antes de que se formen las singularidades, es
posible "cortar" a lo largo de una 2-esfera la
variedad para obtener nuevas variedades en las cuales
el flujo de Ricci no es singular durante un tiempo.
Como en las partes encontradas después de cortar
podemos seguir el flujo de Ricci, volvemos a hacer lo
mismo hasta que acabemos con cosas que ya no tienen
singularidades. Las partes que encontramos después de
cortar son del tipo descrito antes (las burbujas o
cuellos o bien la cosa "redonda" en donde no se crean
burbujas ni cuellos). Como el volumen de la variedad
disminuye cada vez que cortamos uno de estos pedazos,
al haber empezado con algo de volumen finito, el
número de partes con las que terminamos tiene que ser
finito. Ahora bien, podemos pegar de nuevo todos los
pedazos (pues sólo son un número finito) a lo largo de
esas 2-esferas para encontrar una variedad con partes
simples reconocibles (que es "geométrica"). Nuestra
variedad original se puede deformar continuamente en
esta variedad geométrica (es decir que topológicamente
son iguales) siguiendo en cada parte el flujo de
Ricci. Esto completa la prueba de la geometrización.

El Teorema de Geometrización tiene como corolario laconjetura de Poincaré
De un resultado viejo de
Kneser y Milnor (llamado de descomposición esférica o
de descomposición prima), toda 3-variedad puede
descomponerse como una union de tres partes: partes
irreducibles (es decir que no se pueden descomponer a
su vez) con grupo fúndamental infinito, partes
irreducibles con grupo fúndamental finito y partes que
son uniones de varios S^2 x S^1. Si la 3-variedad
tiene grupo fundamental trivial entonces sólo tenemos
partes con grupo fundamental finito. Como las partes
que tenemos son irreducibles entonces por la conjetura
de geometrización estas partes tienen que ser
geométricas. Así que estas partes son deformables a
una de las 8 posibles geometrias básicas. Como la
variedad es cerrada (es decir que es finita y sin
frontera o borde) las únicas posibilidades son S^3 (o
bien identificaciones de S^3 con simetrias) o el
producto S^2 x S^1. Pero no puede ser ni
identificaciones no triviales de S^3 ni el producto
S^2 x S^1 por tener grupo fundamental trivial, asi que
tiene que ser S^3.

Apendice de definiciones
El grupo fundamental es un grupo algebraico que se
crea a partir de los círculos que hay en una variedad.
Este grupo da una idea de cómo es la variedad sin
tener que hacer descripciones analíticas o
geométricas. Si todos los círculos se pueden deformar
a un punto entonces el grupo fundamental es trivial.
Por ejemplo, la corteza de una dona (un "toro") tiene
dos círculos independientes (que no se pueden deformar
uno en el otro de manera continua), uno rodeando el
hoyo de la dona y otro rodeando el pan de la dona por
lo que su grupo fundamental no es cero, de hecho es un
grupo (abeliano) con dos generadores (los círculos que
describí). Otro ejemplo, un anillo tiene un círculo
que no se puede deformar a un punto (el "ecuador" del
anillo) aunque cualquier otro círculo puede deformarse
a este ecuador o bien a un punto por lo que su grupo
fundamental tampoco es cero, pero con sólo un
generador. Un tercer ejemplo, un ocho tiene dos
circulos que no se pueden deformar uno en el otro ni a
un punto. El grupo fundamental del ocho tampoco es
trivial y también tiene dos generadores (aunque este
grupo no es abeliano, lo que lo hace mucho mas
complicado que el de la corteza de la dona). Es
importante saber que el grupo fundamental de la
3-variedad S^2 x S^1 tampoco es trivial y que el grupo
fundamental de S^3 si es trivial (recuerda que la
conjetura de Poincaré es que toda 3-variedad cerrada y
orientable cuyo grupo fundamental es trivial tiene que
ser deformable a la 3-esfera). El grupo fundamental de
cualquier espacio euclideano es trivial también.